Question

如圖，⊙O的直徑AB與弦CD（不是直徑）相交于E，E是CD的中點，過點B作BF∥CD交AD的延長線于
點F．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）連接BC，若⊙O的半徑為5，∠BCD=38°，求線段BF、BC的長．（精確到0.1）

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂徑定理可證AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，則BF是⊙O的切線；
（2）連接AC，由垂徑定理可知=，則∠CAB=∠DAB=∠BCD=38°，而AB=10，分別解直角三角形求線段BF、BC的長．
解答：（1）證明：∵直徑AB平分弦CD，
∴AB⊥CD（2分）
∵CD∥BF，
∴AB⊥BF（3分）
∴BF是⊙O的切線；（4分）

（2）解：解法一：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，
∴AB=5×2=10，∠BCA=90°
又∵AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BAC=∠BAF=∠BCD=38°（6分）
在Rt△ABF中，，BF=AB×tan∠BAF=10×tan38°≈7.8（8分）
在Rt△ABC中，，
∴BC=AB×sin∠BAD=10×sin38°≈6.2（10分）

解法二：連接BD，∵AB是⊙O的直徑，
∴AB=5×2=10，∠BDA=90°
又∵AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，
∴BC=BD，∠BAD=∠BCD=38°（6分）
在Rt△ABF中，，
∴BF=AB×tan∠BAF=10×tan38°≈7.8（8分）
在Rt△ABD中，，
∴BC=BD=AB×sin∠BAD=10×sin38°≈6.2．（10分）
點評：本題考查了切線的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的知識．關鍵是利用圓周角定理將已知角進行轉化，利用直徑證明直角三角形．