Question

如圖，已知點A（-2，4）和點B（1，0）都在拋物線y=mx²+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，若四邊形AA′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達式；
（3）試求出菱形AA′B′B的對稱中心點M的坐標．

Answer 1

解：（1）根據題意，把A （-2，4）和點B （1，0）代入拋物線y=mx²+2mx+n中，
解得；

（2）四邊形AA′B′B為菱形，
則AA′=B′B=AB=5；
∵，
=；
∴向右平移5個單位的拋物線解析式為，
；

（3）根據平移與菱形的性質，得到
A′（3，4），B′（6，0）；
過點A′作A′H⊥x軸，
在Rt△A′BH中，點H（3，0），點B（1，0），
故BH=2，A′H=4；
設菱形AA′B′B的中心點M，作MG⊥x軸，
根據中位線性質得
，
；
因此菱形AA′B′B的中心點M坐標為（2，2）．
分析：（1）本題需先根據題意把A （-2，4）和點B （1，0）代入拋物線y=mx²+2mx+n中，解出m、n的值即可．
（2）本題需先根據四邊形AA′B′B為菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5個單位即可得到平移后拋物線的表達式．
（3）本題需根據平移與菱形的性質，得到A′、B′的坐標，再過點A′作A′H⊥x軸，得出BH和A′H的值，再設菱形AA′B′B的中心點M，作MG⊥x軸，根據中位線性質得到MG、BG的值，最后求出點M的坐標．
點評：本題主要考查了二次函數的應用問題，在解題時要根據二次函數的圖象和性質進行綜合分析是本題的關鍵．