Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax²+bx-2經過（2，1）和（6，-5）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設此拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，點P是在直線x=4右側的此拋物線上一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M．若以A、P、M為頂點的三角形與△OCB相似，求點P的坐標；
（3）點E是直線BC上的一點，點F是平面內的一點，若要使以點O、B、E、F為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線過（2，1）和（6，-5）兩點，所以把以上兩點的坐標代入求出a和b的值即可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．解這個方程，得x₁=1，x₂=4．所以A（1，0），B（4，0）．令x=0，得y=-2．所以可得到C（0，-2），P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）．再分別①當

OC

MA

=

OB

MP

時，△OCB∽△MAP時和②當

OC

MP

=

OB

MA

時，△OCB∽△MPA，討論求出符合題意的m值即可；
（3）點E是直線BC上的一點，點F是平面內的一點，若要使以點O、B、E、F為頂點的四邊形是菱形，由菱形的性質，分別從以OB，BE，EF為對角線去分析即可求得答案．

解答：解：（1）把（2，1）和（6，-5）兩點坐標代入得

4a+2b-2=1 36a+6b-2=-5.

，
解這個方程組，得 

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
故拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；

（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．
解這個方程，得x₁=1，x₂=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=-2．
∴C（0，-2）．   
設P（m，  -

1

2

m2+

5

2

m-2）．
因為∠COB=∠AMP=90°，
①當

OC

MA

=

OB

MP

時，△OCB∽△MAP．
∴

2

m-1

=

4

1 2 m2- 5 2 m+2

．
解這個方程，得m₁=8，m₂=1（舍）．
∴點P的坐標為（8，-14）．
②當

OC

MP

=

OB

MA

時，△OCB∽△MPA．
∴

2

1 2 m2- 5 2 m+2

=

4

m-1

．
解這個方程，得m₁=5，m₂=1（舍）．
∴點P的坐標為（5，-2）．
∴點P的坐標為（8，-14）或（5，-2）；

（3）點E是直線BC上的一點，點F是平面內的一點，若要使以點O、B、E、F為頂點的四邊形是菱形，則以OB，BE，EF為對角線作出來圖形，可得到4個菱形；得出點F的坐標為(

8

5

5

，  

4

5

5

)或(-

8

5

5

， - 

4

5

5

)或(

8

5

， - 

16

5

)或（2，1）．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，考查了二次函數的圖象和坐標軸的交點坐標以及相似三角形的判定和性質、菱形的性質等知識．題目綜合性很強，注意數形結合與方程思想的應用．