Question

如圖，在⊙O上有定點C和動點P，位于直徑AB的異側，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是

1. A.
   5
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，再根據正切的定義得到tan∠ABC==，然后根據圓周角定理得到∠A=∠P，則可證得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC為直徑時，PC最長，此時CQ最長，然后把PC=5代入計算即可．
解答：∵AB為⊙O的直徑，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=，
∴=，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴=，
∴CQ=•PC=PC，
當PC最大時，CQ最大，即PC為⊙O的直徑時，CQ最大，此時CQ=×5=．
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質．