Question

（2012•湘潭）如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=

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2

AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；
（2）當點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖2中畫出△PCD并說明理由；
（3）如圖3，當點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知當PC=AB時，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC=

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AB，可求得∠ABC的度數，然后利用相似，即可得∠PCD的度數，又由垂徑定理，求得

AC

=

AP

，然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A與∠P是

BC

對的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；

（2）解：當PC是⊙O的直徑時，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直徑，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
∴△PCD≌△ABC；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=

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AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴

AC

=

AP

，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意數形結合思想的應用．