Question

正方形ABCD的邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AM⊥MN．當BM為多少時，四邊形ABCN的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：設BM=x，則MC=-4x，當AM⊥MN時，利用互余關系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數的性質求面積的最大值．
解答：解：設BM=x，則MC=-4x，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，則=，即=，
解得：CN=，
∴S_{四邊形ABCN}=×4×[4+]=-x²+2x+8=-（x-2）²+10，
∵0≤x≤4，
∴當x=2時，S_{四邊形ABCN}最大．
即當BM的長為2時，四邊形ABCN的面積最大．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質及二次函數的最值，證明△ABM∽△MCN，得出CN的表達式是解答本題的關鍵，注意配方法求二次函數最值的應用．