Question

在直角坐標平面中，已知點A（10，0）和點D（8，0）．點C、B在以OA為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形．
（1）求C點坐標；
（2）求過O、C、B三點的拋物線解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）判斷：（2）中拋物線的頂點與⊙M的位置關系，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，作MN⊥BC于點N，連接MC，
∵A（10，0）和點D（8，0）．
∴點M（5，0），
∵點C、B在以OA為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形，
∴⊙M的半徑為5，BC=OD=8，
∴在Rt△MNC中，MC=5，NC=BC=4，
∴MN=3，
∴點C的坐標為（1，3）；

（2）∵點C的坐標為（1，3），
∴點B的坐標為（9，3），
設過O、C、B三點的拋物線解析式為y=ax²+bx，
∴
解得：
∴解析式為：y=-x²+x，
∴y=-x²+x=-（x-5）²+，
∴對稱軸為x=5，頂點坐標為（5，）；

（3）∵頂點坐標為（5，），點M的坐標為（5，0），
∴頂點到點M的距離為，
∵＞5
∴拋物線的頂點在⊙M外．
分析：（1）作MN⊥BC于點N，連接MC，利用垂徑定理求得線段MN后即可確定點C的坐標；
（2）用同樣的方法確定點D的坐標后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，然后配方后即可確定拋物線的頂點坐標及對稱軸；
（3）根據(jù)拋物線的頂點坐標和點M的坐標確定兩點之間的距離，然后根據(jù)半徑與兩點之間的線段的大小關系即可確定頂點與圓的位置關系．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，還考查了點與圓的位置關系，本題難度不大，但綜合性比較強．