Question

（2013•長寧區一模）在直角坐標平面中，已知點A（10，0）和點D（8，0）．點C、B在以OA為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形．
（1）求C點坐標；
（2）求過O、C、B三點的拋物線解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）判斷：（2）中拋物線的頂點與⊙M的位置關系，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作MN⊥BC于點N，連接MC，利用垂徑定理求得線段MN后即可確定點C的坐標；
（2）用同樣的方法確定點D的坐標后利用待定系數法確定二次函數的解析式，然后配方后即可確定拋物線的頂點坐標及對稱軸；
（3）根據拋物線的頂點坐標和點M的坐標確定兩點之間的距離，然后根據半徑與兩點之間的線段的大小關系即可確定頂點與圓的位置關系．

解答：解：（1）如圖，作MN⊥BC于點N，連接MC，
∵A（10，0）和點D（8，0）．
∴點M（5，0），
∵點C、B在以OA為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形，
∴⊙M的半徑為5，BC=OD=8，
∴在Rt△MNC中，MC=5，NC=

1

2

BC=4，
∴MN=3，
∴點C的坐標為（1，3）；

（2）∵點C的坐標為（1，3），
∴點B的坐標為（9，3），
設過O、C、B三點的拋物線解析式為y=ax²+bx，
∴

a+b=3 81a+9b=3

解得：

a=- 1 3 b= 10 3

∴解析式為：y=-

1

3

x²+

10

3

x，
∴y=-

1

3

x²+

10

3

x=-

1

3

（x-5）²+

25

3

，
∴對稱軸為x=5，頂點坐標為（5，

，25

3

）；

（3）∵頂點坐標為（5，

，25

3

），點M的坐標為（5，0），
∴頂點到點M的距離為

25

3

，
∵

25

3

＞5
∴拋物線的頂點在⊙M外．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，還考查了點與圓的位置關系，本題難度不大，但綜合性比較強．