Question

【題目】如圖，E，F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AE＝CF，連接DE、BE、BF、DF．

（1）求證：四邊形BEDF為菱形；

（2）若菱形BEDF的邊長為2，AE＝2，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝4．

【解析】

（1）連結BD交AC于點O，證明OE＝OF，得到四邊形BEDF為平行四邊形，再證明EB＝ED，得到四邊形BEDF是菱形；

（2）根據△EOB是直角三角形，構造方程求出OA，根據正方形性質求出AB即可．

（1）證明：連結BD交AC于點O，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，

又∵AE＝CF，

∴OE＝OF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形，

∵EF垂直平分BD，

∴EB＝ED，

∴四邊形BEDF是菱形；

（2）設AO＝x，則OE＝x﹣2，

在Rt△EOB中，BE2＝BO2+OE2，

即20＝x2+（x﹣2）2，

解得：x＝4或﹣2（舍），

∴AO＝4，

∴．