Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)），與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)，過(guò)作軸交于點(diǎn)，過(guò)作軸交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最大值時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）在軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分．如果存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）； (2)；（3），，．

【解析】

(1)x2(a+1)x+a=0，則AB==(a1)2=16，即可求解；
(2)設(shè)點(diǎn)E(m,m2+2m3)，點(diǎn)F(3m,m2+4m)，四邊形EMNF的周長(zhǎng)S=ME+MN+EF+FN，即可求解；
(3)分當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限、點(diǎn)Q在第四象限兩種情況，分別求解即可．

解：(1)x2(a+1)x+a=0，
則x1+x2=a+1，x1x2=a， AB==(a1)2=16，
解得：a=5或3，
拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，故a=5舍去，則a=3，
則拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x3；
(2)由y=x2+2x3得：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：(3,0)、(1,0)、(0,3)，
設(shè)點(diǎn)E(m,m2+2m3)，OA=OC，故直線AC的傾斜角為45°，EF//AC，
直線AC的表達(dá)式為：y=x3，
則設(shè)直線EF的表達(dá)式為：y=x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入上式并解得：
直線EF的表達(dá)式為：y=x+(m2+3m3)
聯(lián)立并解得：x=m或3m，
故點(diǎn)F(3m,m2+4m)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：(m,m3)、(3m,m+3)，
則EF= (xFxE)= (2m3)=MN，
四邊形EMNF的周長(zhǎng)S=ME+MN+EF+FN=2m2(6+4)m6，
∵2<0，故S有最大值，此時(shí)m=，
故點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-；
(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限時(shí)，
當(dāng)QC平分四邊形面積時(shí)，
則|xQ|=xB=1，故點(diǎn)Q(1,4)；
當(dāng)BQ平分四邊形面積時(shí)，
則S△OBQ= ×1×|yQ|，S四邊形QCBO=×1×3+×3×|xQ|，
則2(×1×|yQ|)=×1×3+×3×|xQ|，
解得：xQ=，故點(diǎn)Q(,)；
②當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限時(shí)，
同理可得：點(diǎn)Q(,)；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(1,4)或(,)或(,).