Question

如圖，在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，得到△AOH．在拋物線y=x²（x＞0）上取點P，在y軸上取點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形△POQ與△AOH全等，則符合條件的△AOH的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：由于兩三角形的對應邊不能確定，故應分四種情況進行討論：
①∠POQ=∠OAH=60°，此時A、P重合，可聯立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
②∠POQ=∠AOH=30°，此時∠POH=60°，即直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論．
解答：解：①如圖1，當∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=30°，
∴直線OA：y=x，聯立拋物線的解析式，
∴，
解得或
故A（，），
∴S_△AOH=××=；
②當∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，
得，解得或，
∴P（，3），A（3，）
∴S_△AOH=×3×=；
③如圖3，當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，
得，，解得或，
∴P（，3），
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
∴A（2，2），
∴S_△AOH=×2×2=2；
④如圖4，當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，
得，解得或，
∴P（，），
∴QP=，OP=，
∴OH=QP，QP=，AH=OP=，
∴A（，），
∴S_△AOH=××=．
綜上所述，△AOH的面積為：，2，，．
故答案為：，2，，．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質以及函數圖象交點坐標的求法，解答此題時一定要注意進行分類討論．