Question

如圖，在第一象限內作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H．在拋物線y=x²（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是

 

．

Answer 1

分析：此題應分四種情況考慮：
①∠POQ=∠OAH=60°，此時A、P重合，可聯立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標；
②∠POQ=∠AOH=30°，此時∠POH=60°，即直線OP：y=

3

x，聯立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標．
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；

解答：解：①當∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，
所以直線OA：y=

3

3

x，聯立拋物線的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

，

x= 3 3 y= 1 3

；
故A（

3

3

，

1

3

）；

②當∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線OP：y=

3

x，聯立拋物線的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

，

x= 3 y=3

；
故P（

3

，3），那么A（3，

3

）；

③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線OP：y=

3

x，聯立拋物線的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

、

x= 3 y=3

，
故P（

3

，3），
∴OP=2

3

，QP=2，
∴OH=OP=2

3

，AH=QP=2，
故A（2

3

，2）；

④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；

此時直線OP：y=

3

3

x，聯立拋物線的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

、

x= 3 3 y= 1 3

，
∴P（

3

3

，

1

3

），
∴QP=

2

3

3

，OP=

2

3

，
∴OH=QP，QP=

2

3

3

，AH=OP=

2

3

，
故A（

2 3

3

，

2

3

）．
綜上可知：符合條件的點A有四個，且坐標為：則符合條件的點A的坐標是 （

3

3

，

1

3

）或（3，

3

）或（2

3

，2）或（

2 3

3

，

2

3

）．

點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質以及函數圖象交點坐標的求法；由于全等三角形的對應頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．