Question

對于滿足0≤p≤4的一切實數，不等式x²+px＞4x+p-3恒成立，則實數x的取值范圍是

x＞3或x＜-1

．

Answer 1

分析：令y=x²+px-（4x+p-3）=x²+px-3x-（x+p-3）=x（x+p-3）-（x+p-3）=（x-1）（x+p-3）＞0，進而可得其解，因為 0≤p≤4，可得-1≤3-p≤3，然后分類討論即可得出x的取值范圍．

解答：解：令y=x²+px-（4x+p-3）=x²+px-3x-（x+p-3）
=x（x+p-3）-（x+p-3）
=（x-1）（x+p-3）＞0
∴其解為 x＞1 且 x＞3-p①，或x＜1 且x＜3-p②，
因為 0≤p≤4，
∴-1≤3-p≤3，
在①中，要求x大于1和3-p中較大的數，而3-p最大值為3，故x＞3；
在②中，要求x小于1和3-p中較小的數，而3-p最小值為-1，故x＜-1；
故原不等式恒成立時，x的取值范圍為：x＞3或x＜-1．
故答案為：x＞3或x＜-1．

點評：本題考查了函數恒成立問題及一元二次不等式的應用問題．此題難度適中，關鍵是用分類討論的思想解題．