Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+1．記當(dāng)x=c時(shí)，函數(shù)值為y_c，那么，是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于滿足0≤x≤1的任意實(shí)數(shù)a，b，總有y_a+y_b≥1．

Answer 1

設(shè)y在0≤x≤1的最小值為M，原問(wèn)題等價(jià)于2M≥1，M≥

1

2

，
二次函數(shù)y=x²-2mx+1的圖象是一條開(kāi)口向上的拋的線，
①當(dāng)對(duì)稱軸x=m≤0時(shí)，由圖象可知，x=0時(shí)，y_最小=1，這時(shí)1≥

1

2

成立；
②當(dāng)對(duì)稱軸x=m，0＜m＜1時(shí)，由圖象可知x=m時(shí)，y_最小且y_最小=1-m²，有1-m²≥

1

2

，m²≤

1

2

，故有0＜m≤

2

2

；
③當(dāng)對(duì)稱軸x=m，m≥1時(shí)，由圖象可知，x=1時(shí)，y_最小且y_最小=2-2m，這時(shí)有2-2m≥

1

2

，m≤

3

4

與m≥1矛盾．
綜上可知，滿足條件的m存在，且m的取值范圍是m≤

2

2

．