Question

對于給定的拋物線y=x²+ax+b，使實數p、q適合于ap=2（b+q）
（1）證明：拋物線y=x²+px+q通過定點；
（2）證明：下列兩個二次方程，x²+ax+b=0與x²+px+q=0中至少有一個方程有實數解．

Answer 1

證明：（1）由ap=2（b+q），得q=

ap

2

-b，代入拋物線y=x²+px+q，
得：-y+x²-b+p（x+

a

2

）=0，
得

x+ a 2 =0 -y+x2-b=0

，
解得：

x=- a 2 y= a2-4b 4

，
故拋物線y=x²+px+q通過定點（-

a

2

，

a2-4b

4

）．

（2）由2q=ap-2b得p²-4q=p²-2•2q=p²-2（ap-2b）=（p-a）²-（a²-4b），
∴（p²-4q）+（a²-4b）=（p-a）²≥0，
∴p²-4q，a²-4b中至少有一個非負，
∴x²+ax+b=0與x²+px+q=0中至少有一個方程有實數解．