Question

對于給定的拋物線y=x²+ax+b，使實數p、q適合于ap=2（b+q）
（1）證明：拋物線y=x²+px+q通過定點；
（2）證明：下列兩個二次方程，x²+ax+b=0與x²+px+q=0中至少有一個方程有實數解．

Answer 1

分析：（1）由已知求得q=

ap

2

-b，代入拋物線y=x²+px+q，得y=x²+px+

ap

2

-b，將拋物線y=x²+ax+b的頂點橫坐標x=-

a

2

代入可求y的值，確定結果為頂點縱坐標即可；
（2）方程x²+ax+b=0與x²+px+q=0的判別式分別為a²-4b，p²-4q，由2q=ap-2b可得出兩個判別式的和為非負數，可知其中至少有一個判別式為非負數，故至少有一個方程有實數解．

解答：證明：（1）由ap=2（b+q），得q=

ap

2

-b，代入拋物線y=x²+px+q，
得：-y+x²-b+p（x+

a

2

）=0，
得

x+ a 2 =0 -y+x2-b=0

，
解得：

x=- a 2 y= a2-4b 4

，
故拋物線y=x²+px+q通過定點（-

a

2

，

a2-4b

4

）．

（2）由2q=ap-2b得p²-4q=p²-2•2q=p²-2（ap-2b）=（p-a）²-（a²-4b），
∴（p²-4q）+（a²-4b）=（p-a）²≥0，
∴p²-4q，a²-4b中至少有一個非負，
∴x²+ax+b=0與x²+px+q=0中至少有一個方程有實數解．

點評：本題考查了拋物線上的點及頂點的坐標特點，判別式判斷一元二次方程解的運用，明確兩個數的和為非負數時，其中至少有一個數為非負數．