Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD延長線上一點，DE=BC．
（1）求證：∠E=∠DBC；
（2）判斷△ACE的形狀（不需要說明理由）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AD∥BC，得到∠BCD=∠CDE，又DE=BC，所以△BCD≌△EDC，根據全等三角形的對應角相等即可得證．
（2）根據全等三角形對應邊相等得到BD=CE，又等腰梯形的對角線相等，所以AC=CE，所以是等腰三角形．
解答：（1）證明：
證法一：∵AD∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，（1分）
在△BCD和△EDC中，
，
∴△BCD≌△EDC（SAS）（3分）
∴∠E=∠DBC（2分）
證法二：∵DE∥BC，DE=BC，（2分）
∴四邊形BCED是平行四邊形，（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
∴∠E=∠DBC．（2分）

（2）解：△ACE是等腰三角形．（2分）
理由為：∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴AB=DC，AC=BD，
又BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠BDC，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠DBC=∠EAC，
又∠DBC=∠E，
∴∠EAC=∠E，
則AC=EC，即△ACE是等腰三角形．
點評：本題主要利用等腰梯形的性質和全等三角形的判定，利用全等三角形的對應角相等是證明兩個角相等常用的方法之一，本題利用平行四邊形的判定和性質證明更加簡單．