Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別是AB、AC的中點，點F是BE、CD的交點．請寫出圖中兩組全等的三角形，并選出其中一組加以證明．（要求：寫出證明過程中的重要依據）

Answer 1

分析：根據AB=AC，點D、E分別是AB、AC的中點，得到相等的線段和相等的角，從而可知全等的三角形有：△BCD≌△CBE；△DBF≌△EFC．

解答：解：△ABE≌△ACD，∠FAE=∠EAD或△BFD≌△CFE（寫出兩個即可）
（1）選△ABE≌△ACD．
證明：∵點D，E分別是AB，AC的中點，
∴AD=

1

2

AB，AE=

1

2

AC．
又∵AB=AC，
∴AD=AE．
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD.

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．

（2）選△BCD≌△CBE．
證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）．
∵點D，E分別是AB，AC的中點，
∴BD=

1

2

AB，CE=

1

2

AC．
∴BD=CE．
在△BCD和△CBE中，

BD=CE ∠ABC=∠ACB BC=CB

，
∴△BCD≌△CBE（SAS）．

（3）選△BFD≌△CFE．
方法一：
證明：∵點D，E分別是AB，AC的中點，
∴AD=

1

2

AB，AE=

1

2

AC
又∵AB=AC，∴AD=AE
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE=∠ACD（全等三角形對應角相等）
∵點D，E分別是AB，AC的中點，∴BD=

1

2

AB，CE=

1

2

AC
∵AB=AC，∴BD=CE
在△BFD和△CFE中，

∠ABE=∠ACD ∠DFB=∠EFC(對頂角相等) BD=CE.

M（m，0）
方法二：
證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）．
∵點D，E分別是AB，AC的中點，
∴BD=

1

2

AB，CE=

1

2

AC．
∴BD=CE．
在△BCD和△CBE中，

BD=CE ∠ABC=∠ACB BC=CB

，
∴△BCD≌△CBE（SAS）．
∴∠BDC=∠CEB（全等三角形對應角相等）．
在△BFD和△CFE中，

∠BDC=∠CEB ∠DFB=∠EFC(對頂角相等) BD=CE.

，
∴△BFD≌△CFE（AAS）．

點評：本題考查三角形全等的判定及等腰三角形的性質；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．