Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，弦CE⊥AB于F，C是的中點，連接AD，交CE于P．
（1）求證：P是△ACQ的外心；
（2）若AF=2，AD=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由C是的中點，根據圓周角定理得到∠CAD=∠ABC，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°，即∠CAD+∠AQC=90°，而CE⊥AB，則∠ABC+∠PCQ=90°，可得到∠AQC=∠PCQ；根據垂徑定理得到，則∠CAD=∠ACE，利用等腰三角形的判定定理即可得到PA=PC=PQ，根據外心的定義即可得到結論；
（2）連OC交AD于H點，根據垂徑定理的逆定理可得OC垂直平分AD，即∠AHC=90°，AH=AD=4，根據三角形全等的判定易得△ACH≌△CAF，則CH=AF=2，設⊙O的半徑為r，則OH=r-2，在Rt△OAH中，
運用勾股定理可得到關于r的方程，解方程可得到r的值．
解答：證明：（1）∵C是的中點，
∴=，
∴∠CAD=∠ABC，
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠AQC=90°，
又CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°，
∴∠AQC=∠PCQ，
∴PC=PQ，
∵CE⊥直徑AB，
∴，
∴，
∴∠CAD=∠ACE，
∴在△APC中，PA=PC，
∴PA=PC=PQ，
∴P是△ACQ的外心；

（2）連OC交AD于H點，如圖，
∵弧AC=弧CD，
∴OC垂直平分AD，
∴∠AHC=90°，AH=AD=4，
在△ACH和△CAF中，
，
∴△ACH≌△CAF，
∴CH=AF=2，
設⊙O的半徑為r，則OH=r-2，
在Rt△OAH中，OA²=OH²+AH²，
∴r²=（r-2）²+4²，
∴r=5，即⊙O的半徑為5．
點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是解決圓的綜合題的關鍵；同時運用勾股定理解決幾何計算．