Question

已知：如圖，直線與x軸相交于點A，與直線相交于點P。

（1）求點P的坐標；
（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由；
（3）動點E從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動（E不與點O、A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S。
求：①S與t之間的函數關系式；
②當t為何值時，S最大，并求S的最大值。

Answer 1

解：（1），解得， ∴點P的坐標為（2，）； （2）將y=0代入， ∴， ∴x=4，即OA=4， 做PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2， ∵tan∠POA=， ∴∠POA=60°， ∵OP=， ∴△POA是等邊三角形； （3）①當0<t≤4時，如圖1， 在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t， ∴EF=，OF=t， ∴S=·OF·EF=， 當4<t<8時，如圖2， 設EB與OP相交于點C， 易知：CE=PE=t-4，AE=8-t， ∴AF=4-t，EF=（8-t）， ∴OF=OA-AF=4-（4-t）=t， ∴S=（CE+OF）·EF =（t-4+t）×（8-t）=； ②當0<t≤4時，，t=4時， ∴當t=時，， 當4<t<8時，， 時，， ∵， ∴當時，。