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數學課上,老師提出:
如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A點的坐標為(1,0),點B在x軸上,且在點A的右側,AB=OA,過點A和B作x軸的垂線,分別交二次函數y=x2的圖象于點C和D,直線OC交BD于點M,直線CD交y軸于點H,記點C、D的橫坐標分別為xC、xD,點H的縱坐標為yH
同學發現兩個結論:
①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②數值相等關系:xC•xD=-yH
(1)請你驗證結論①和結論②成立;
(2)請你研究:如果上述框中的條件“A的坐標(1,0)”改為“A的坐標(t,0)(t>0)”,其他條件不變,結論①是否仍成立(請說明理由);
(3)進一步研究:如果上述框中的條件“A的坐標(1,0)”改為“A的坐標(t,0)(t>0)”,又將條件“y=x2”改為“y=ax2(a>0)”,其他條件不變,那么xC、xD與yH有怎樣的數值關系?(寫出結果并說明理由)

解:(1)由已知可得點B的坐標為(2,0),點C坐標為(1,1),點D的坐標為(2,4),
由點C坐標為(1,1)易得直線OC的函數解析式為y=x,
故點M的坐標為(2,2),
所以S△CMD=1,S梯形ABMC=
所以S△CMD:S梯形ABMC=2:3,
即結論①成立.
設直線CD的函數解析式為y=kx+b,

解得
所以直線CD的函數解析式為y=3x-2.
由上述可得,點H的坐標為(0,-2),yH=-2
因為xC•xD=2,
所以xC•xD=-yH
即結論②成立;

(2)(1)的結論仍然成立.
理由:當A的坐標(t,0)(t>0)時,點B的坐標為(2t,0),點C坐標為(t,t2),點D的坐標為(2t,4t2),
由點C坐標為(t,t2)易得直線OC的函數解析式為y=tx,
故點M的坐標為(2t,2t2),
所以S△CMD=t3,S梯形ABMC=t3.
所以S△CMD:S梯形ABMC=2:3,
即結論①成立.
設直線CD的函數解析式為y=kx+b,

解得
所以直線CD的函數解析式為y=3tx-2t2
由上述可得,點H的坐標為(0,-2t2),yH=-2t2
因為xC•xD=2t2
所以xC•xD=-yH
即結論②成立;

(3)由題意,當二次函數的解析式為y=ax2(a>0),且點A坐標為(t,0)(t>0)時,點C坐標為(t,at2),點D坐標為(2t,4at2),
設直線CD的解析式為y=kx+b,
則:
解得
所以直線CD的函數解析式為y=3atx-2at2,則點H的坐標為(0,-2at2),yH=-2at2
因為xC•xD=2t2
所以xC•xD=-yH
分析:(1)可先根據AB=OA得出B點的坐標,然后根據拋物線的解析式和A,B的坐標得出C,D兩點的坐標,再依據C點的坐標求出直線OC的解析式.進而可求出M點的坐標,然后根據C、D兩點的坐標求出直線CD的解析式進而求出D點的坐標,然后可根據這些點的坐標進行求解即可;
(2)(3)的解法同(1)完全一樣.
點評:本題主要考查了二次函數的應用、一次函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象的交點等知識點.
練習冊系列答案
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同學發現兩個結論:
①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②數值相等關系:xC•xD=-yH
(1)請你驗證結論①和結論②成立;
(2)請你研究:如果上述框中的條件“A的坐標(1,0)”改為“A的坐標(t,0)(t>0)”,其他條件不變,結論①是否仍成立(請說明理由);
(3)進一步研究:如果上述框中的條件“A的坐標(1,0)”改為“A的坐標(t,0)(t>0)”,又將條件“y=x2”改為“y=ax2(a>0)”,其他條件不變,那么xC、xD與yH有怎樣的數值關系?(寫出結果并說明理由)

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①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②數值相等關系:xC•xD=-yH
(1)請你驗證結論①和結論②成立;
(2)請你研究:如果上述框中的條件“A的坐標(1,0)”改為“A的坐標(t,0)(t>0)”,其他條件不變,結論①是否仍成立(請說明理由);
(3)進一步研究:如果上述框中的條件“A的坐標(1,0)”改為“A的坐標(t,0)(t>0)”,又將條件“y=x2”改為“y=ax2(a>0)”,其他條件不變,那么xC、xD與yH有怎樣的數值關系?(寫出結果并說明理由)

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