Question

數(shù)學(xué)課上，老師提出：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B在x軸上，且在點(diǎn)A的右側(cè)，AB=OA，過(guò)點(diǎn)A和B作x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y=x²的圖象于點(diǎn)C和D，直線OC交BD于點(diǎn)M，直線CD交y軸于點(diǎn)H，記點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為x_C、x_D，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為y_H．
同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論：
①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3 ②數(shù)值相等關(guān)系：x_C•x_D=-y_H
（1）請(qǐng)你驗(yàn)證結(jié)論①和結(jié)論②成立；
（2）請(qǐng)你研究：如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)（1，0）”改為“A的坐標(biāo)（t，0）（t＞0）”，其他條件不變，結(jié)論①是否仍成立（請(qǐng)說(shuō)明理由）；
（3）進(jìn)一步研究：如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)（1，0）”改為“A的坐標(biāo)（t，0）（t＞0）”，又將條件“y=x²”改為“y=ax²（a＞0）”，其他條件不變，那么x_C、x_D與y_H有怎樣的數(shù)值關(guān)系？（寫出結(jié)果并說(shuō)明理由）

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)AB=OA得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的解析式和A，B的坐標(biāo)得出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線OC的解析式．進(jìn)而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線CD的解析式進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解即可；
（2）（3）的解法同（1）完全一樣．

解答：解：（1）由已知可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），
由點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1）易得直線OC的函數(shù)解析式為y=x，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），
所以S_△CMD=1，S_梯形ABMC=

3

2

所以S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，
即結(jié)論①成立．
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b，
則

k+b=1 2k+b=4

，
解得

k=3 b=-2

所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3x-2．
由上述可得，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，-2），y_H=-2
因?yàn)閤_C•x_D=2，
所以x_C•x_D=-y_H，
即結(jié)論②成立；

（2）（1）的結(jié)論仍然成立．
理由：當(dāng)A的坐標(biāo)（t，0）（t＞0）時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2t，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（t，t2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2t，4t2），
由點(diǎn)C坐標(biāo)為（t，t2）易得直線OC的函數(shù)解析式為y=tx，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2t，2t2），
所以S_△CMD=t3，S_梯形ABMC=

3

2

t3．
所以S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，
即結(jié)論①成立．
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b，
則

tk+b=t2 2tk+b=4t2

，
解得

k=3t b=-2t2

所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3tx-2t²；
由上述可得，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，-2t2），y_H=-2t²
因?yàn)閤_C•x_D=2t²，
所以x_C•x_D=-y_H，
即結(jié)論②成立；

（3）由題意，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y=ax²（a＞0），且點(diǎn)A坐標(biāo)為（t，0）（t＞0）時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（t，at²），點(diǎn)D坐標(biāo)為（2t，4at²），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則：

tk+b=at2 2tk+b=4at2

，
解得

k=3at b=-2at2

所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3atx-2at²，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，-2at²），y_H=-2at²．
因?yàn)閤_C•x_D=2t²，
所以x_C•x_D=-

1

a

y_H．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)．