Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過原點，

（1）當頂點坐標為（2，2）時，求此函數的解析式；

（2）繼續探究，如果b≠0，且拋物線頂點坐標為（m，m），m≠0，求此函數的解析式（用含m的式子表示）

（3）現有一組過原點的拋物線，頂點A1，A2，An在直線y＝x上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnnDn，若這組拋物線中有一條經過Dn，求所有滿足條件的正方形邊長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）y＝﹣x2+2x；（3）滿足條件的正方形邊長是3，6或9．

【解析】

（1）頂點坐標為（2，2）時，拋物線的表達式為：y＝a（x2）2＋2＝ax24ax＋4a＋2，故4a＋2＝0，解得：a＝，即可求解；

（2）拋物線頂點坐標為（m，m），拋物線的表達式為：y＝a（xm）2＋m＝ax22max＋am2＋m，即：am2＋m＝0，解得：a＝，即可求解；

（3）點Dn所在的拋物線解析式為y＝x2＋2x．四邊形AnBnCnDn是正方形，則點Dn的坐標是（2n，n），（2n）2＋22n＝n，4n＝3t，即可求解．

拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過原點，則拋物線的表達式為：y＝ax2+bx；

（1）頂點坐標為（2，2）時，拋物線的表達式為：y＝a（x﹣2）2+2＝ax2﹣4ax+4a+2，

故4a+2＝0，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣2）2+2＝﹣x2+2x；

（2）拋物線頂點坐標為（m，m），拋物線的表達式為：y＝a（x﹣m）2+m＝ax2﹣2max+am2+m，

即：am2+m＝0，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣m）2+m＝﹣x2+2x；

（3）∵頂點A1，A2，…，An在直線y＝x上，

∴可設An（n，n），點Dn所在的拋物線頂點坐標為（t，t）．

∴a＝﹣x2+2x．

∵四邊形AnBnC nDn是正方形，C

∴點Dn的坐標是（2n，n），

∴﹣（2n）2+22n＝n，

∴4n＝3t．

∵t、n是正整數，且t≤12，n≤12，

∴n＝3，6或9．

∴滿足條件的正方形邊長是3，6或9．