Question

如圖，AB是⊙O的弦，AB=4，過圓心O的直線垂直AB于點D，交⊙O于點C和點E，連接AC、BC、OB，cos∠ACB=，延長OE到點F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：BF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OA，由直徑CE⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，利用圓周角定理得到∠ACE=∠BCE，∠AOB=2∠ACB，且∠AOE=∠BOE，則∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB=，在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，利用勾股定理可計算出x=，則OB=3x=；
（2）由于FE=2OE，則OF=3OE=，則=，而=，于是得到=，根據(jù)相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)有∠OBF=∠ODB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：連OA，如圖，
∵直徑CE⊥AB，
∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠BOE=∠ACB，
而cos∠ACB=，
∴cos∠BOD=，
在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，
∴x²+2²=（3x）²，解得x=，
∴OB=3x=，
即⊙O的半徑為；

（2）證明：∵FE=2OE，
∴OF=3OE=，
∴=，
而=，
∴=，
而∠BOF=∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF=∠ODB=90°，
∵OB是半徑，
∴BF是⊙O的切線．
點評：本題考查了圓的綜合題：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)的一半；過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；運用三角形相似證明角度相等．