Question

【題目】已知拋物線y=ax2﹣4ax+b與x軸的一個交點A的坐標為（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）當a=﹣1時，將拋物線向上平移m個單位后經過點（5，﹣7）．
①求m的值及平移前、后拋物線的頂點P、Q的坐標．
②設平移后拋物線與y軸交于點D，問：在平移后的拋物線上是否存在點E，使得△ECD的面積是△EPQ的3倍？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（0，3）代入y=ax2﹣4ax+b中，得b=3a，

∴y=ax2﹣4ax+3a．

當y=0時，ax2﹣4ax+3a=0．

解得x=1或x=3，

∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（1，0）

（2）

解：①當a=﹣1時，y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，

∴平移前拋物線的頂點坐標為（2，1），

∵平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+1+m，且經過點（5，﹣7），

∴m=1，

∴y=﹣（x﹣2）2+2，

∴平移后拋物線的頂點Q的坐標為（2，2），

②存在．理由如下，如圖，

由平移可知PQ=CD，

∴要使S△EPQ=3S△EPQ只需要CD上的高是PQ上的高的3倍．

設點E（x0，y0），由①知平移前、后拋物線的對稱軸均為直線x=2．

a、當點E位于對稱軸右側時，如圖，則有3（x0﹣2）=x0．

∴x0=3，y0=1，

∴點E的坐標為（3，1）

b、當點E位于對稱軸與y軸之間時，則有3（2﹣x0）=x0．

∴x0= ，y0=

∴點E的坐標為（ ， ）．

c、當點E位于y軸左側時，則有3（2﹣x0）=﹣x0．

∴x0=3＞0，與點E位于y軸左側矛盾，故此情況不存在

綜上所述，點E的坐標為（3，1）或（ ， ）

【解析】（1）將A（0，3）代入y=ax2﹣4ax+b中，得b=3a，可得y=ax2﹣4ax+3a．令y=0時，得ax2﹣4ax+3a=0解方程即可解決問題．（2）①當a=﹣1時，y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，平移前拋物線的頂點坐標為（2，1），因為平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+1+m，且經過點（5，﹣7），利用待定系數法求出m的值即可解決問題．②存在．分三種情形討論即可．a、當點E位于對稱軸右側時，如圖，則有3（x0﹣2）=x0 ． b、當點E位于對稱軸與y軸之間時，則有3（2﹣x0）=x0 ． c、當點E位于y軸左側時，則有3（2﹣x0）=﹣x0 ． 分別解方程即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．