Question

（2009•延慶縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，點P從點A出發沿線路AB-BC作勻速運動，點Q從AC的中點D同時出發沿線路DC-CB作勻速運動逐步靠近點P，設P，Q兩點運動的速度分別為1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它們在t秒后于BC邊上的某一點相遇．
（1）求出AC與BC的長度；
（2）試問兩點相遇時所在的E點會是BC的中點嗎？為什么？
（3）若以D，E，C為頂點的三角形與△ABC相似，試分別求出a與t的值．（=1.732，結果精確到0.1）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件和三角函數就可以得出AC與BC的長度；
（2）在t秒后，點Q運動的路程為at，點P運動的路程為t，那么，BE=t-12，CE=at-12，這兩個式子相等的t的值不存在；
（3）以D，E，C為頂點的三角形與△ABC相似，根據對應邊的不同可以分幾種情況進行討論．當過D點作DE₁∥AB時，△DCE₁∽△ACB，根據相似三角形的對應邊的比相等就可以解出．當過D點作DE₂⊥AC，交CB于E₂，則△DCE₂∽△ABC，根據相似三角形的性質易得結論．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，
∴AC=2AB=24（厘米）．
BC=AB=12（厘米）．

（2）E點不會是BC的中點．
在t秒后，點Q運動的路程為at，點P運動的路程為t，那么
BE=t-12，CE=at-12，
∵a＞1，
∴at-12＞t-12．
∴E點不會是BC的中點．

（3）若以D，E，C為頂點的三角形與△ABC相似，
當過D點作DE₁∥AB，交CB于E₁
則△DCE₁∽△ACB時，
==
∴E點是BC的中點．
但CE₁=at-12，BE₁=t-12，
∵a＞1，故at-12＞t-12，
即CE₁＞BE₁，與E點是BC的中點矛盾，
當過D點作DE₂⊥AC，交CB于E₂
則△DCE₂∽△ABC===，
∴CE₂=24×=8，
依題意得，，
解得．
∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．
點評：本題是一個綜合題，有一定的難度，主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的性質與判定等知識．