Question

不定方程a²+b²+c²=a²b²的所有整數解是

 

．

Answer 1

分析：首先對其中c進行分析，c等于零 奇數 偶數再對a b分析（同為奇數 偶數 一奇一偶），求出每種情況的解的情況，再依次進行分析，最終求出方程的解．只有一個解．

解答：解：首先對c進行奇偶性分析：
（1）c=0時，方程化為a²+b²=a²b²，即（a²-1）（b²-1）=1由于a²-1與b²-1都是1的約數，
所以

a2-1=1 b2-1=1

，

a2-1=-1 b2-1=-1

以上方程組只能解出a=b=0，于是，方程有一組解a=b=c=0．
（2）c為奇數時，再對a，b進行奇偶性分析．
（i）若a和b同為奇數，則a²，b²，c²都是4k+1型，于是a²+b²+c²為4k+3型，而a²b²為4k+1型，等式不能成立，方程無解；
（ii）若a，b同為偶數，此時方程左邊=a²+b²+c²為奇數，左邊=a²b²為偶數，方程無解；
（iii）若a和b為一奇一偶，此時方程左邊為4k+2型，右邊為4k時，方程無解．
（3）c為偶數時，仍對a和b進行奇偶性分析：
（i）若a和b同為奇數，則方程左邊為4k+2型，右邊為奇數，方程無解；
（ii）若a和b為一奇一偶，則方程左邊為奇數，右邊為偶數，方程無解；
（iii）若a，b同為偶數，這時，方程兩邊均為4k型，需要再細致分析：
設a=2^mα，b=2ⁿβ，c=2^tr，其中m，n，t為非負整數，α，β，r為奇數．則方程化為2^2mα²+2²ⁿβ²+2^2tr²=2^2m+2nα²β²
當t最小時，方程兩邊約去2^2t，得2^2m-2tα²+2^2n-2tβ²+r²=α²β²•2^2m+2n-2t顯然，方程左邊為奇數，右邊為偶數，方程無解；
當m最小時，方程兩邊約去2^2m得α²+2^2n-2mβ²+2^2t-2mr²=2²ⁿα²β²．
同樣，方程左邊為奇數，右邊為偶數，方程無解；
當n最小時，同樣可得方程無解．
當m=n=t時，則方程左邊是奇數，而右邊是偶數，方程無解；
綜上討論，方程a²+b²+c²=a²b²只有一組整數解a=0，b=0，c=0．

點評：解此題的關鍵是如何對abc進行分析，分析要全面（如奇數偶數零），求出所有情況的方程的解，再針對所有的進行歸納和總結．