Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點（不與點A、B重合），D是的中點，DE⊥AB于點E，過點C作半圓O的切線，交ED的延長線于點F．

（1）求證：∠FCD＝∠ADE；

（2）填空：

①當∠FCD的度數為　 　時，四邊形OADC是菱形；

②若AB＝2，當CF∥AB時，DF的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①30°；②﹣1．

【解析】

（1）如下圖，先推導出∠OAD＝∠OCD，然后再利用CF⊥OC和DE⊥AB進行角度轉化，推導出∠FCD＝∠ADE；

（2）①當∠FCD=30°時，可得到△OAD是等邊三角形，然后再推導出△COD也是等邊三角形，從而證菱形；

②如下圖，先證△ADE≌△DCF，得出AE＝DF，DE＝CF，推導出△ODE是等腰直角三角形，從而求出DF的長．

（1）證明：連接OC、AC．如圖1所示：

∵D是的中點，

∴＝，

∴DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA．

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA．

∴∠DAC+∠OAC＝∠DCA+∠OCA，

即∠OAD＝∠OCD．

∵CF是半圓O的切線，

∴CF⊥OC，

∴∠FCD+∠OCD＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠ADE+∠OAD＝90°，

∴∠FCD＝∠ADE．

（2）解：①當∠FCD的度數為30°時，四邊形OADC是菱形；理由如下：

連接OD，如圖2所示：

∵∠FCD＝30°，

∴∠ADE＝30°，

∵DE⊥AB，

∴∠OAD＝60°，

∵OA＝OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AD＝OA，∠AOD＝60°，

∵D是的中點，

∴＝，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∵OC＝OD，

∴△COD是等邊三角形，

∴CD＝OD＝OC，

∴OA＝AD＝CD＝OC，

∴四邊形OADC是菱形；

故答案為：30°；

②連接OD，如圖3所示：

∵AB＝2，

∴OA＝OD＝，

∵CF∥AB，DE⊥AB，

∴CF⊥EF，

∴∠CFD＝90°＝∠DEA，

在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF（AAS），

∴AE＝DF，DE＝CF，

∵CF半圓O的切線，

∴CF⊥OC，

∴四邊形OCFE是矩形，

∴CF＝OE，

∴DE＝OE，

∴△ODE是等腰直角三角形，

∴OE＝OD＝1，

∴DF＝AE＝OA﹣OE＝﹣1；

故答案為：﹣1．