Question

如圖，在⊙O的內接△ABC中，∠ABC=30°，AC的延長線與過點B的⊙O的切線相交于點D，若⊙O的半徑OC=1，BD∥OC，則CD的長為（ ）

A．1+
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：作輔助線OB、CE構建正方形CEBO．根據圓周角定理（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）求得∠OAC=2∠ABC=60°，然后由切線的性質及平行線的性質求得OB⊥OC，OB⊥BD；再根據圓的半徑都相等知OB=OC，所以判定四邊形CEBO是正方形，然后在直角三角形CDE中利用正弦三角函數sin∠D=sin60°求CD的長度并作出選擇．
解答：解：連接OB．過點C作CE⊥BD于點E．
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠ACO=∠OAC=60°（等邊對等角）；
又BD∥OC，
∴∠ACO=∠D=60°（兩直線平行，同位角相等），
∴∠OCD=120°（兩直線平行，同旁內角互補）；
∵BD是⊙O的切線，
∴OB⊥OC，OB⊥BD；
又∵OB=OC，
∴四邊形CEBO是正方形，
∴CE=OB=1，
∴CD==；
故選B．
點評：本題綜合考查了正方形的判定與性質、圓周角定理及切線的性質．解答該題時，借助于輔助線OB、CE構建正方形CEBO，然后由正方形的性質、直角三角形中的特殊角的三角函數值來求CD的長度．