Question

在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（），那么點A_n的縱坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，再求出直線與x軸、y軸的交點坐標，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到各點的縱坐標的規(guī)律．
解答：解：∵A₁（1，1），A₂（，）在直線y=kx+b上，
∴，
解得，
∴直線解析式為y=x+，
如圖，設(shè)直線與x軸、y軸的交點坐標分別為N、M，
當x=0時，y=，
當y=0時，x+=0，解得x=-4，
∴點M、N的坐標分別為M（0，），N（-4，0），
∴tan∠MNO===，
作A₁C₁⊥x軸與點C₁，A₂C₂⊥x軸與點C₂，A₃C₃⊥x軸與點C₃，
∵A₁（1，1），A₂（，），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×=2+3=5，
tan∠MNO===，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃==（）²，
同理可求，第四個等腰直角三角形A₄C₄==（）³，
依此類推，點A_n的縱坐標是（）^n-1．
故答案為：（）^n-1．
點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形斜邊上的高線就是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及正切的定義，規(guī)律性較強，注意指數(shù)與點的腳碼相差1．