Question

（2006•安順）已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角邊AB為直徑作⊙O，⊙O與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，若四邊形AOED是平行四邊形，求∠CAB的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）D點已經在圓周上，要證DE為切線，只需證明∠ODE=90°，而這一結論可根據三角形全等來證明，即△OBE≌△ODE，依據為邊角邊．
（2）在（1）的基礎上，加上三角形中位線定理，以求出∠CAB=45°．
解答：（1）證明：連接OD；
∵AO=BO，BE=CE，
∴OE∥AC．
∴∠BOE=∠A，∠EOD=∠ODA．
又∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOD=∠EOB．
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△DOE≌△BOE，
∴∠ODE=∠B=90°．
即DE是⊙O的切線．

（2）解：由（1）得，OE∥AC，且OE=AC；
∵四邊形AOED為平行四邊形，
∴OE=AD=CD，
∴四邊形OECD為平行四邊形，
∴∠C=∠DOE．
又∵∠A=∠DOE且∠B=90°，
∴∠A=∠C=45°．
點評：此題考查了切線的判定和平行四邊形的判定及性質．