Question

（1）如圖1，正方形的面積為S，兩對(duì)邊與兩條對(duì)角線圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為S₁和S₂，則

S

、

S1

、

S2

三者之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；
（2）如圖2，若將正方形改為矩形，其它不變，上述

S

、

S1

、

S2

三者之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？
回答：

 

；
（3）如圖3，若將矩形改為平行四邊形，其它不變，上述

S

、

S1

、

S2

三者之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？回答：

 

；
（4）如圖4，梯形的面積為S，兩底邊與兩條對(duì)角線圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為S₁和S₂，則

S

、

S1

、

S2

三者是否還存在上述的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形的面積為1，那么可得S₁，S₂的面積均為

1

4

，可得

S

、

S1

、

S2

三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）同法可得矩形中

S

、

S1

、

S2

三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）同理可得平行四邊形中

S

、

S1

、

S2

三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（4）可設(shè)梯形的面積為1，易得S₁與S₂相似，高的比為上下底的比，那么可得

S

、

S1

、

S2

三者之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）正方形的對(duì)角線把正方形分成全等的四個(gè)等腰直角三角形，所以設(shè)正方形的面積為1，那么S₁，S₂的面積均為

1

4

，∴

S

=

S1

+

S2

；

（2）矩形的對(duì)角線互相平分且相等，可得矩形的對(duì)角線把矩形分成面積相等的4部分，所以設(shè)矩形的面積為1，那么S₁，S₂的面積均為

1

4

，∴

S

=

S1

+

S2

；

（3）由平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得平行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成面積相等的4部分，所以設(shè)平行四邊形的面積為1，那么S₁，S₂的面積均為

1

4

，∴

S

=

S1

+

S2

；

（4）設(shè)梯形的面積為1，上底為a，下底為b，高為h，易得S₁，S₂所在的兩三角形相似，那么S₁所在的三角形的高為

ah

a+b

，S₂所在的三角形的高為

bh

a+b

，利用面積公式，整理后可得

S

=

S1

+

S2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了各種四邊形的面積問題，解決本題的關(guān)鍵是利用所給特殊圖形的性質(zhì)得到各面積的算術(shù)平方根的關(guān)系；難點(diǎn)是利用類比的性質(zhì)得到相應(yīng)規(guī)律求解．