Question

正方形ABCD的邊長為2，E是射線CD上的動點（不與點D重合），直線AE交直線BC于點G，∠BAE的平分線交射線BC于點O．
（1）如圖，當CE=時，求線段BG的長；
（2）當點O在線段BC上時，設，BO=y，求y關于x的函數解析式；
（3）當CE=2ED時，求線段BO的長．

Answer 1

解：（1）在邊長為2的正方形ABCD中，CE=，得DE=CD-CE=2-=，
又∵AD∥BC，即AD∥CG，
∴，
得CG=1．
∵BC=2，
∴BG=3；

（2）當點O在線段BC上時，過點O作OF⊥AG，垂足為點F．
∵AO為∠BAE的角平分線，∠ABO=90°，
∴OF=BO=y．
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴．
∵AD=2，
∴CG=2x．
又∵，CE+ED=2，
∴得CE=．
∵在Rt△ABG中，AB=2，BG=2+2x，∠B=90°，
∴AG=2．
∵AF=AB=2，
∴FG=AG-AF=2．
∵，
即，
得．（x≥0）；

（3）當CE=2ED時，

①當點O在線段BC上時如圖（1），即x=2，由（2）得；
②當點O在線段BC延長線上時，如圖（2），CE=2DE=4，ED=2，在Rt△ADE中，AE=2．
設AO交線段DC于點H，
∵AO是∠BAE的平分線，
∴∠BAH=∠HAE，
又∵AB∥CD，
∴∠BAH=∠AHE．
∴∠HAE=∠AHE．
∴EH=AE=2．
∴CH=4-2，
∵AB∥CD，
∴，
∴，得BO=2+2．
分析：（1）根據AD∥BC，我們可以得出關于AD、DE、CE、CG的比例關系式，已知了CD、AD、CD的值，那么就能求出DE的值，也就能求出CG的長了，有了CG的長，已知了BC的長，那么就有了BG的長．
（2）根據CE、DE的比例關系和CD的長，我們不難表示出CE的長，按（1）的方法我們可以得出CG的表達式，有了CG的長，那么就能表示出BG的長，在直角三角形ABG中，就能表示出AG的長，如果我們過點O作OF⊥AG，垂足為點F，構建一個和三角形ABG相似的三角形OFG（有一個公共角，有一組直角），我們可得出關于AB、AG、OF、OG的比例關系式．根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，我們可得出OF=OB=y，OG=BG-BO也不難表示出來，因此根據關于AB、AG、OF、OG的比例關系式可得出一個含x、y的函數關系式．
（3）分兩種情況，第一，O在線段BC上，這種情況同（2）可根據（2）的結果來得出OB的值．
第二種情況，O在BC的延長線上，由AB∥DC我們可得出∠BAH=∠HAE=∠AHE，因此EH=AH，那么就有了EH的值，也就求出了CH的值，由AB∥DC，我們可得到一個關于AB、CH、CO、BO的比例關系式，因為CO=BO-2，又求出了CH的值，已知了AB的值，因此可求出BO．
點評：本題考查了正方形的性質，平行線分線段成比例定理等知識點的應用，本題中根據平行線得出線段的比例關系，然后用已知的線段或間接求出的線段來求出未知的線段是解題的思路．