Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．給出如下幾個結論：

①∠ADE=∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE=60°．其中正確的結論個數為（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

①先證明△ABD為等邊三角形，根據“SAS”證明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性質解答即可；

②先證明△ABD為等邊三角形，根據“SAS”證明△AED≌△DFB；

③過點F作FP∥AE于P點，根據題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；

④因為點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，當點E，F分別是AB，AD中點時，CG⊥BD；

⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°

①∵ABCD為菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，故本選項正確；

②∵ABCD為菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本選項錯誤；

③過點F作FP∥AE交DE于P點（如圖2）．

∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3．

∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6．

∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項正確；

④當點E，F分別是AB，AD中點時（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形．

∵點E，F分別是AB，AD中點，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG．在△GDC與△BGC中，∵，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項正確；

綜上所述：正確的結論有①③⑤，共3個．

故選C．