Question

如圖所示，已知邊長為4的正方形鋼板有一個角銹蝕，其中AF=2，BF=1，為了合理利用這塊鋼板．將在五邊形EABCD內截取一個矩形塊MDNP，使點P在AB上，且要求面積最大，求鋼板的最大利用率．

Answer 1

分析：根據題意畫圖分析．用含表示某一邊的字母的代數式表示面積，關鍵是表示另一邊的長．借助三角形相似建立關系．

解答：解：如圖所示，為了表達矩形MDNP的面積，設DN=x，PN=y，
則面積S=xy ①，
∵點P在AB上，由△APQ∽△ABF得，

4-y

2-(4-x)

=

1

2

，
即x=10-2y，
∴代入①，得S=（10-2y）y=-2y²+10y，
即S=-2(y-

5

2

)2+

25

2

，
因為3≤y≤4，而y=

5

2

不在自變量的取值范圍內，
所以y=

5

2

不是最值點，
當y=3時，S=12；當y=4時，S=8，故面積的最大值是S=12，此時，鋼板的最大利用率是80%．

點評：根據函數求出的最值與實際問題中的最值不一定相同，需注意自變量的取值范圍．