Question

如圖，ABCD為菱形，∠ABC=β，有一個半徑為r的⊙O，圓心O在菱形的內部，且到B點的距離為a，當圓心O在菱形內部運動時，⊙O的半徑和圓心到B點的距離a都發(fā)生變化．
（1）當滿足什么條件時，圓心O在菱形內部運動時⊙O與菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長線）都相切？
（2）當圓心O在菱形內部運動時，請你求出滿足什么條件時⊙O與菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長線）都相交、相離的所有情況．

Answer 1

分析：（1）當圓心O有可能在菱形的對角線上時：過O作OE⊥BA于E．
根據∠EBO與β的關系求出∠EBO的正弦值，然后根據半徑與正弦值的關系確定圓與直線的關系；
（2）當圓心O有可能在菱形的對角線上時：過O作OE⊥BA于E．
根據∠EBO與β的關系求出∠EBO的正弦值，然后根據半徑與正弦值的關系確定圓與直線的關系；
也有可能不在對角線上：過O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H．
根據∠ABF和∠CBF與β的關系求出∠ABF和∠CBF的正弦值，然后根據半徑與正弦值的關系確定圓與直線的關系．

解答：解：（1）設圓心O是菱形ABCD對角線BD上任意一點，過O作OE⊥BA于E．
在Rt△OEB中，∠EBO=

β

2

，OB=a，
sin∠EBO=sin

β

2

=

OE

OB

=

OE

a

，
∴OE=asin

β

2

．
當r=sin

β

2

時，⊙O的圓心在BD上運動時⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相切．

（2）①設⊙O的圓心在菱形ABCD對角線上運動時，
當r＞sin

β

2

時，⊙O的圓心在BD上運動時⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相交．
當r＜sin

β

2

時，⊙O的圓心在BD上運動時⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相離．
②設⊙O的圓心不在菱形ABCD對角線上運動時，
如圖，在菱形ABCD內任作BF，BF不是對角線，設∠ABF＞

β

2

，則∠CBF＜

β

2

，
設O為BF上任意一點，過O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H，
在Rt△OGB中，sin∠ABF=

OG

a

，
∴OG=asin∠ABF．
在Rt△OHB中，sin∠CBF=

OH

a

，
∴OH=asin∠CBF．
當r＞sin∠ABF（∠ABF＞

β

2

）時，⊙O的圓心在BF上運動時，⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相交．
當r＜sin∠CBF（∠CBF＜

β

2

）時，⊙O的圓心在BF上運動時，⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相離．

點評：本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．