Question

如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，且AB=CD．下列結論：①EG⊥FH，②四邊形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC-AD），⑤四邊形EFGH是菱形．其中正確的個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH是菱形，然后根據菱形的對角線互相垂直平分，并且平分每一組對角的性質對各小題進行判斷．
解答：解：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，
∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正確；
②四邊形EFGH是矩形，錯誤；
③HF平分∠EHG，正確；
④當AD∥BC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點，
∴連接CD，延長EG到CD上一點N，
∴EN=BC，GN=AD，
∴EG=（BC-AD），只有AD∥BC時才可以成立，而本題AD與BC很顯然不平行，故本小題錯誤；
⑤四邊形EFGH是菱形，正確．
綜上所述，①③⑤共3個正確．
故選C．
點評：本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質，根據三角形的中位線定理與AB=CD判定四邊形EFGH是菱形是解答本題的關鍵．