Question

（2011•潮陽(yáng)區(qū)模擬）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，
（1）若取AB的中點(diǎn)M，可證AE=EF，請(qǐng)寫出證明過(guò)程．
（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

分析：（1）連接ME，根據(jù)已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF，因?yàn)槿�等三角形的�?duì)應(yīng)邊相等，所以AE=EF．
（2）在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P，使AP=CE，連接PE，根據(jù)已知利用ASA判定△APE≌△ECF，因?yàn)槿�等三角形的�?duì)應(yīng)邊相等，所以AE=EF．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，
∵取AB的中點(diǎn)M，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，
∴AM=EC=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠FCG=45°，
∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∠AEB+∠MAE=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
即

∠MAE=∠CEF AM=CE ∠AME=∠ECF

∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF，

（2）AE=EF仍然成立，理由如下：
在BA延長(zhǎng)線上截取AP=CE，連接PE，則BP=BE，
∵∠B=90°，BP=BE，
∴∠P=45°，
又∠FCE=45°，
∴∠P=∠FCE，
∵∠PAE=90°+∠DAE，∠CEF=90°+∠BEA，
∵AD∥CB，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠PAE=∠CEF，
∴△APE≌△ECF，
∴AE=EF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的掌握情況，正確作出輔助線在BA延長(zhǎng)線上截取AP=CE，構(gòu)造三角形全等是解題關(guān)鍵．