Question

實踐探究題：
（1）如圖1，在直角坐標系中，一個直角邊為4等腰直角三角形板ABC的直角頂點B放至點O的位置，點A、C分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°至△AKL的位置，求直線AL的解析式；
（2）如圖2，將任意兩個等腰直角三角板△ABC和△MNP放至直角坐標系中，直角頂點B、N分別在y軸的正半軸和負半軸上，頂點M、A都在x軸的負半軸上，頂點C、P分別在第二象限和第三象限，AC和MP的中點分別為E、F，請判斷△OEF的形狀，并證明你的結論；
（3）如圖3，將第（1）問中的等腰直角三角形板ABC順時針旋轉180°至△OMN的位置．G為線段OC的延長線上任意一點，作GH⊥AG交x軸于H，并交直線MN于Q．請探究下面兩個結論：①

GN+GC

NQ

為定值；②

GN-GC

NQ

為定值．其中只有一個是正確的，請判斷正確的結論，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）求得A、L的坐標，利用待定系數法即可求得直線的解析式；
（2）過E作EG⊥x軸于G，過E作EH⊥y軸于H，易證△AEG≌△EBH，則EG=EH，即E到∠BOA的兩邊距離相等，則E在∠BOA的平分線上，同理F在∠AON的平分線上，據此即可證得∠EOF=90°，從而判斷；
（3）過Q作EQ⊥NQ交y軸于E，延長AC交EQ于F，連GF，證明△AGC≌△QGF，即可求得．

解答：解：（1）A的坐標是：（-4，0），L的坐標是（-8，4），設直線AL的解析式是：y=kx+b，
則

-4k+b=0 -8k+b=4

，
解得：

k=-1 b=-4

，
則直線AL的解析式為：y=-x-4；

（2）△OEF是直角三角形．
證明：連BE，則BE⊥AC，且BE=AE． 
過E作EG⊥x軸于G，過E作EH⊥y軸于H．
則△AEG≌△EBH，
∴EG=EH 
∴OE平分∠BOA，
同理OF平分∠AON，
∴∠EOF=90°即△OEF是直角三角形；

（3）結論①正確．
過Q作EQ⊥NQ交y軸于E，延長AC交EQ于F，連GF，AC=CM=QF．
∴過G分別作GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∵G是∠ANM的角平分線NC上一點，
∴GL=GJ，
同（1）可得：△AGL≌△QGJ，
∴GA=GQ，
∵∠ANQ=90°，GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∴∠LGJ=90°，
又∵∠AGH=90°，
∴∠GAC=∠FQG，
∴在△AGC和△QGF中，

GA=GQ ∠GAC=∠FQG AC=FQ

，
∴△AGC≌△QGF，
∴GC=GF=GE，
GN+GC=GN+GE=NE=

2

NQ．
∴

GN+GC

NQ

=

2

．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式以及三角形的全等的判定與性質，正確證明△AGC≌△QGF是關鍵．