Question

已知在⊙O中，直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，交AB于E，則CD的長是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據圓周角定理及勾股定理可得AD的長，過E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，則四邊形CFEG是正方形，設EF=EG=x，由三角形面積公式可求出x的值，及CE的值，根據△ADE∽△CBE，根據相似比可求出DE的長，進而求出CD的長．
解答：解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC===8（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴AD=BD，
∴AD=BD=AB=5（cm），
過E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，則四邊形CFEG是正方形，
設EF=EG=x，
∴AC•x+BC•x=AC•BC，
∴×6•x+×8×x=×6×8，
∴x=，
∴CE=x=，
∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE，
∴DE：BE=AE：CE=AD：BC，
∴DE：BE=AE：=5：8，
∴AE=，BE=AB-AE=10-=，
∴DE=，
∴CD=CE+DE=+=7（cm）．
點評：本題綜合考查了圓周角定理，垂徑定理，角平分線的性質，及相似三角形的性質．解答此題的關鍵是作出輔助線，構造正方形．