Question

（2011•江漢區）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸的兩個交點分別為A（﹣3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H．
（1）直接填寫：a=　　，b=　　，頂點C的坐標為　　；
（2）在y軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）a=﹣1，b=﹣2，頂點C的坐標為（﹣1，4）；
（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸于點E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，∴．
設D（0，c），則．變形得c²﹣4c+3=0，解之得c₁=3，c₂=1．
綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．

（3）①若點P在對稱軸右側（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延長CP交x軸于M，∴AM=CM，∴AM²=CM²．
設M（m，0），則（m+3）²=4²+（m+1）²，∴m=2，即M（2，0）．
設直線CM的解析式為y=k₁x+b₁，
則，解之得，．
∴直線CM的解析式．
聯立，解之得或（舍去）．
∴．
②若點P在對稱軸左側（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N．
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得．
∴AN=2，FN=1，點F坐標為（﹣5，1）．
設直線CF的解析式為y=k₂x+b₂，則，
解之得．
∴直線CF的解析式．
聯立，解之得或（舍去）．
∴．
∴滿足條件的點P坐標為或．
解析:
略