Question

在△ABC中，∠A=∠C，點E在BC邊上，過點E作射線EF∥AB交AC于點F，EM交AC于點M，點N在射線EF上，且∠EMN=∠ENM，設∠ABC=α，∠MEN=β．
（1）如圖1，若點M在線段AF上，α=60°，β=30°，求∠FMN的度數；
（2）若點M在AC邊上（不與點A、C、F重合），α、β為任意角度，探究∠FMN與α、β的數量關系，請在圖2中畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行線得出∠FEC=∠B=60°，根據三角形內角和定理求出∠A、∠C，求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；
（2）分為兩種情況：①當點M在AF上時，根據平行線得出∠FEC=∠B=α，根據三角形內角和定理求出∠C，根據三角形內角和定理求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；②當點M在CF上時，由①得出∠C=

1

2

（180°-α），∠EMN=90°-

1

2

β，代入∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C得出∠FMN+90°-

1

2

β=α-β+

1

2

（180°-α），即可求出答案．

解答：（1）解：∵EF∥AB，
∴∠B=∠FEC=60°，∠A=∠EFC，
∵∠A=∠C，
∴∠C=∠A=

1

2

（180°-∠FEC）=60°，
∵∠MEF=β=30°，
∴∠EMN=∠ENM=

1

2

（180°-30°）=75°，∠MEC=30°+60°=90°，
∴∠EMN=180°-90°-60°=30°，
∴∠FMN=∠EMN-∠EMC=75°-30°=45°．


（2）①當點M在AF上時，∠FMN=

1

2

α+

1

2

β，
如圖2，∵EF∥AB，
∴∠FEC=∠B=α，
∵∠A=∠C，
∴∠C=

1

2

（180°-α），
∵∠EMN=∠ENM，
∴∠EMN=

1

2

（180°-β）=90°-

1

2

β，
∠MEC=∠FEC+∠MEN=α+β，
∴∠EMC=180°-∠MEC-∠C
=180°-（α+β）-

1

2

（180°-α）
=90°-

1

2

α-β，
∴∠FMN=∠EMN-∠EMC
=（90°-

1

2

β）-（90°-

1

2

α-β）=

1

2

α+

1

2

β；
②當點M在CF上時，∠FMN=

1

2

α-

1

2

β，
理由是：如圖3，由①得：∠C=

1

2

（180°-α），∠EMN=90°-

1

2

β，
∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C，
即∠FMN+90°-

1

2

β=α-β+

1

2

（180°-α），
∴∠FMN=

1

2

α-

1

2

β．

點評：本題考查了三角形內角和定理和三角形外角性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．