Question

如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，點D、E分別是邊AC、AB上的動點，以DE為直徑作⊙O．
（1）如圖1，如果DE為△ABC的中位線，試判斷BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）在BC與⊙O相切的條件下，
①如圖2，如果點A與點E重合，試求⊙O的半徑；
②如圖3，如果DE∥BC，試求⊙O的半徑；
③求⊙O的半徑的最小值（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，過點E作EF⊥BC于點F．利用兩平行線間的距離的定義知EF即DE與BC間的距離，由三角形中位線定理求得⊙O的半徑，然后通過比較EF與⊙O的半徑的大小關系即可確定直線與圓的位置關系；
（2）①設⊙O半徑為r₁．根據相似三角形Rt△COF∽Rt△CBA的對應邊成比例列出比例式=，即=，易求r₁=3；
②作直角三角形ABC斜邊上的高線AH．利用相似三角形△AED∽△ABC的對應高線之比等于相似比的性質列出比例式=，即=，易求r₂=；
③當AF⊥BC，即A、O、F三點共線時，⊙O的半徑最小．
解答：解：（1）⊙O與BC相交．理由如下：
如圖1，過點E作EF⊥BC于點F．
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=BC=5，BE=AB=3，
∴⊙O的半徑為，DE與BC間的距離就是EF的長度．
∵sin∠B==，即=，
∴EF=．
∵＞，
∴⊙O與BC相交；

（2）①設⊙O半徑為r₁．
∵⊙O與BC相切，
∴OF⊥BC．
∵Rt△COF∽Rt△CBA，
∴=，即=，
∴r₁=3，即⊙O半徑為3；
②設⊙O半徑為r₂．
∵BC與⊙O相切，
∴OF⊥BC．
過點A作AH⊥BC交DE于G，交BC于點H．則GH=OF=r₂．
∵AB•AC=BC•AH，即6×8=10×AH，
∴AH=．
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴=，即=，
∴=，
解得．r₂=，即⊙O半徑為；
③連接OA．要使得⊙O半徑最小，則要OA+OF最小，此時，A，O，F三點共線且A，O，F所在直線垂直于BC．
即AO+OF=，
即⊙O半徑最小為：（AO+OF）=．

點評：本題考查了圓的綜合題．注意：勾股定理的逆定理、直角三角形的面積、解直角三角形、切線的性質以及“相似三角形的對應邊成比例，相似三角形的對應邊上高線之比等于相似比”等相似三角形的性質，在本題的解答過程中的綜合運用．