Question

如圖所示，在半徑為r的圓內作一個內接正三角形，然后作這個正三角形的一個內切圓，那么這個內切圓的半徑是

1

2

r

．

Answer 1

分析：△ABC為大⊙O的內接正三角形，小⊙O為△ABC的內切圓，與BC切于D，且OB=r，根據等邊三角形的性質得到∠ABC=60°，根據內圓的性質以及內心的性質得到∠OBD=

1

2

∠ABC=30°，OD⊥BC，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系即可得到OD=

1

2

OB=

1

2

r．

解答：解：如圖，△ABC為大⊙O的內接正三角形，小⊙O為△ABC的內切圓，與BC切于D，且OB=r，
∵△ABC為正三角形，
∴∠ABC=60°，
∵小⊙O為△ABC的內切圓，與BC切于D，
∴∠OBD=

1

2

∠ABC=30°，OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°，OB=r，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

r．
故答案為

1

2

r．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內切圓，內切圓的圓心叫三角形的內心，三角形內心到三角形三邊的距離相等．也考查了正三角形的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．