Question

已知“6”字形圖中，FM是大⊙O的直徑，BC與大⊙O相切于B，OB與小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，設∠FOB=30°，OB=4，BC=6．
﹙1﹚求證：AD為小⊙O的切線；
﹙2﹚求DH的長．﹙結果保留根號﹚

Answer 1

（1）證明：∵BC與大⊙O相切于B，
∴OB⊥BC．
∵AD∥BC，
∴OB⊥AD，即OA⊥AD，
∴AD為小⊙O的切線．

（2）解：∵AD∥BC，CD∥BH，∴四邊形BCDG是平行四邊形．
∴DG=BC=6．
∵∠FOB=30°，BH∥FM，
∴∠OBG=30°，∠BGA=60°=∠DGH．
在Rt△DGH中，
DH=DG•sin60°=6×=3．
分析：（1）證OA⊥AD即可．由BC與大⊙O相切于B，得OB⊥BC；AD∥BC，則OB⊥AD．得證．
（2）易證四邊形BCDG是平行四邊形，則DG=BC=6；由∠FOB=30°，BH∥FM可得∠OBG=30°，∠BGA=60°=∠DGH．在Rt△DGH中運用三角函數求解．
點評：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識點，難度中等．