Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O無公共點，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，點B是⊙O上一點，連接BP并延長交直線l于點C，使得AB=AC．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若BP=2，sin∠ACB，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB．

【解析】

(1)連結OB，根據等腰三角形的性質、對頂角相等證明∠OBA=90°，根據切線的判定定理證明即可；
(2)作直徑BD，連接PD，則∠BPD=90°，根據圓周角定理得出△PBD是直角三角形，進而求得，即為直角三角形求得直徑BD，根據，得到，然后設，則，在中，根據勾股定理得到，解得x的值，即可求得AB的長．

(1)連結OB，如圖1．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∵OA⊥l，

∴∠ACB+∠APC=90°．

∵OB=OP，

∴∠OBP=∠OPB．

∵∠OPB=∠APC，

∴∠OBP+∠ACB=90°，

∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

(2)作直徑BD，連接PD，則∠BPD=90°，如圖2．

∵AB是⊙O的切線，

∴∠ABC=∠D．

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠D=∠ABC=∠ACB．

∵sin∠ACB，

∴sin∠D，

∵BP=2，

∴BD=10，

∴OB=OP=5．

∵sin∠ACB，

∴，

設PA=，則PC=，

∴，

∴，

設PA=x，則AB=AC=2x，

在Rt△AOB中，AB=2x，OB=5，OA=5+x，

∴(2x)2+52=(5+x)2，

解得：x，

∴AB=2x．