Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，
（1）求證：無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根？
（2）當Rt△ABC的斜邊a=

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，且兩條直角邊的長b和c恰好是這個方程的兩個根時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式的符號來證明；
（2）根據(jù)韋達定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理，得（b+c）²-2bc=（

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）²，由此可以求得k的值．

解答：（1）證明：∵△=[-（2k+1）]²-4×1×（4k-3）=4k²-12k+13=（2k-3）²+4，
∴無論k取什么實數(shù)值，總有=（2k-3）²+4＞0，即△＞0，
∴無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：∵兩條直角邊的長b和c恰好是方程x²-（2k+1）x+4k-3=0的兩個根，得
∴b+c=2k+1，bc=4k-3，
又∵在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理，得
b²+c²=a²，
∴（b+c）²-2bc=（

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）²，即（2k+1）²-2（4k-3）=31，
整理后，得k²-k-6=0，解這個方程，得k=-2或k=3，
當k=-2時，b+c=-4+1=-3＜，不符合題意，舍去，當k=3時，b+c=2×3+1=7，符合題意，故k=3．

點評：本題考查了根的判別式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．