Question

11．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²-5ax+4與x軸從左到右依次交于點A、B，交y軸于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，AD交y軸于點E，AC=CD．
（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，點F在CD上方的拋物線上，過點F作FG∥y軸，交線段AD于點G，交線段CD于點H，若FG=CE，求點F的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DF，點P在第一象限內的拋物線上，點Q在CD下方的平面內，DQ⊥CD，∠QCP=∠ADF，若PC=PQ，求點P、Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的對稱軸公式可以求得對稱軸，則CD的長度可以求得，求得拋物線與y軸的交點，則OC即可求得，然后在直角△AOC中利用勾股定理求得OA的長，從而求得A的坐標，代入函數解析式求得a的值；
（2）首先利用待定系數法求得直線AD的解析式，設出F的橫坐標是t，則利用t可以表示出FG的長，根據FG=CE即可求得；
（3）過G作GT⊥DF于點T，過P作PM⊥CD于點M，過Q作QN⊥PM于點N，證明△CPM≌△PQN，則PM=QN=DM，設P的橫坐標是m，利用m表示出CM和DM的長，根據PC=PQ列方程求解．

解答 解：（1）拋物線y=ax²-5ax+4的對稱軸為直線x=-$\frac{-5a}{2a}$=$\frac{5}{2}$，
∵CD∥x軸，
∴CD=5，
∴AC=CD=5
∵拋物線y=ax²-5ax+4交y軸于點C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∴OA=3，
∴A（-3，0），
∴9a+15a+4=0，
∴a=-$\frac{1}{6}$；
（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4．
∵A（-3，0），D（5，4）
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∴E（0，$\frac{3}{2}$），
∴CE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴FG=CE=$\frac{5}{2}$，設F（t，-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4）
∴G（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），∴FG=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-（$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
解得t=0（舍）或t=2，∴F（2，5）；
（3）過G作GT⊥DF于點T，過P作PM⊥CD于點M，過Q作QN⊥PM于點N
∵F（2，5），G（2，$\frac{5}{2}$），H（2，4），
∴FH=1，HG=$\frac{3}{2}$，DH=3
∴DF=$\sqrt{10}$，tan∠DFH=3，
∴GT=3ET
∵FG=$\frac{5}{2}$，
∴ET=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，TG=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，∴DT=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$．
∴DT=TG，
∴∠ADF=45°，
∴∠PCQ=45°，
∵PC=PQ，
∴∠PQC=45°，∠CPQ=90°
∵∠CPM+∠QPN=90°，∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠CPM=∠PQN
∵∠M=∠N=90°，
∴△CPM≌△PQN，
∴PM=QN=DM，設P（m，-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{5}{6}$m+4）
∴CM=m，
∴DM=m-5，
∴PM=m-5，
∴-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{5}{6}$m+4=4-（m-5），
解得m=5（舍）或m=6，
∴P（6，3）．
∴M的坐標是（6，4），
∴PM=4-3=1，
∴QN=MP=1，
∴PN=CM=6，
∴N的縱坐標是-（6-3）=-3，
則Q的坐標是（5，-3）．

點評 本題考查了拋物線與三角形全等的判定與性質，正確利用F的橫坐標很P的橫坐標表示出FG、PC、PQ的長是關鍵．