Question

（2013•下城區(qū)二模）如圖，已知二次函數(shù)y=

1

3

x2+

2

3

x-1的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC，點P是拋物線上的一個動點，記△APC的面積為S，當S=2時，相應的點P的個數(shù)是（　　）

A．4 個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：先確定A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，-1），討論：由于S_△ABC=

1

2

×4×1=2，所以在x上方，拋物線上一定有兩點滿足△APC的面積為2；當點P在x軸下方，設(shè)P點坐標為（x，y），作PD⊥x軸于D，利用S_△APC=S_梯形APDO-S_△PDC-S_△AOC得到3y+x+7=0，而y=

1

3

x2+

2

3

x-1，所以x²+3x=4=0，此方程無實數(shù)根，可判斷在x下方，不存在拋物線上一點P滿足△APC的面積為2．

解答：解：∵令x=0，y=-1；令y=0，

1

3

x2+

2

3

x-1=0，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，-1），
連結(jié)OB，
∵S_△ABC=

1

2

×4×1=2，
∴在x上方，拋物線上一定有兩點滿足△APC的面積為2；
當點P在x軸下方，設(shè)P點坐標為（x，y），（y＜-1），如圖，作PD⊥x軸于D，
∵S_△APC=S_梯形APDO-S_△PDC-S_△AOC，
∴

1

2

（3-x）•（-y）-

1

2

（-1-y）•（-x）-

1

2

×3×1=2，
∴3y+x+7=0，
而y=

1

3

x2+

2

3

x-1，
∴x²+3x=4=0，
∵△=9-4×4＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
即在x下方，不存在拋物線上一點P滿足△APC的面積為2．
故選C．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．