Question

正方形ABCD與正方形CEFG的位置如圖所示，點G在線段CD或CD的延長線上，分別連接BD、BF、FD，得到△BFD．
（1）在圖1-圖3中，若正方形CEFG的邊長分別為1、3、4，且正方形ABCD的邊長均為3，請通過計算填寫下表：

正方形CEFG的邊長	1	3	4
△BFD的面積

（2）若正方形CEFG的邊長為a，正方形ABCD的邊長為b，猜想S_△BFD的大小，并結合圖3證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）①圖中，利用S_△BDF=S_△BCD+S_梯形EFDC-S_△BFE，即可求出△BDF的面積；②直接利用S_△BDF=

1

2

DF×AB，可求出△BDF的面積；③利用S_△BDF=S_△BCD+S_梯形EFDC-S_△BFE，可求出△BDF的面積；
（2）S_△BDF=

1

2

b²，可利用S_△BDF=S_△BCD+S_梯形EFDC-S_△BFE，把a、b代入，化簡即可求出△BDF的面積．

解答：解：（1）如表格．（3分）

正方形CEFG的邊長	1	3	4
△BFD的面積	9 2	9 2	9 2

（2）猜想：S△BFD=

1

2

b2，
證明：
證法1：如圖，S_△BFD=S_△BCD+S_梯形CEFD-S_△BEF=

1

2

b²+

1

2

（a+b）×a-

1

2

（a+b）×a=

1

2

b²；
證法2：如圖③，連接CF，由正方形性質可知∠DBC=∠FCE=45°，
∴BD∥CF，
∴△BFD與△BCD的BD邊上的高相等，
∴S_△BFD=S_△BCD+S_梯形CEFD-S_△BEF=

1

2

b²．

點評：本題利用了面積分割法、正方形的性質、以及同底等高的三角形的面積相等等知識．